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γ-星函数类的Fekete-Szego¨不等式

论文核心提示:

利用星像函数的Fekete-Szego¨不等式,对γ-星 函数类上的系数泛函|a3-μa22|作了精确估计,得到了准确的结果,并给出 利用Hadamard卷积定义的新函数类上的Fekete-Szego¨ 不等式,推广一些作者的结果。

论文关键字:

 本文设E={z∶|z|<1},A表示E内形为
  f(z)=z+∑∞n=2anzn(1)
  的全体解析函数组成的类。S表示A中全体单叶函数组成的类,S*、C分别表示通常的星 像函数类、凸像函数类.若函数f(z)∈A,由式(1)给出, 满足
  Re(zf′(z)f(z))1-γ(1+zf″( z)f′(z))γ>0γ≥0(2)
  记f(z)∈H(γ),f(z)为γ-星函数。
  γ-星函数类是由文献[1]引入,后由文献[2]证明了其中函数为星像函数。
  设f(z)与g(z)在E中解析,若存在E中解析函数w(z)满足|w(z)|≤|z|且g(z)≡f(w(z)) ,则称函数g(z)从属于f(z),记为g(z)f(z)。
   若f(z)由式(1)给出,g(z)∈A,g(z)=z+∑∞n=2bnzn,则f(z)与g( z)的Hadamard卷积为
  (f*g)(z)=z+∑∞n=2anbnzn(3)
  解析函数类上的系数泛函|a3-ua22|的精确估计首先是由文献 [3]提出,证 明了当f∈S, 且0≤u≤1时,有|a3-ua22|≤1+2exp(-2u1-u)。 文献[4-5]研究了星像函数类和凸像函数类的相应问题,得到以下结果:若f∈S*,则 当u≤12时,|a3-ua22|≤3-4u;当12≤u≤1时,|a 3 -ua22|≤1;当u≥1时,|a3-ua22|≤4u-3。若f∈C,则当u≤23时|a3-ua22|≤1-u;当23≤u≤43时,|a3-ua 22|≤13;当u≥43时,|a3-ua22|≤u -1。
  本文研究γ-星函数类H(γ)上的Fekete-Szego¨ 问 题,得到准确的结果,推广了一些作者的结果,并给出Hadamard卷积在其上的应用。证明 后面的结果需用到下面的引理。
  引理1[6] 设w(z)=d1z+d2z2+…在z∈E 时解析,且|w(z)|≤|z|,则
  |d1|≤1,|d2|≤1-|d1|2
  引理2 设p(z)=1+c1z+c2z2+c3z3…在z∈E 时解析,且满足
  p(z)1+z1-z(4)
  则
  |c2-vc21|≤2-4vv≤0
  2 0≤v≤1
  4v-2v≥1
  证明 由式(4)和从属定义得,存在E内满足|w(z)|≤|z|的解析函数 w(z)=d1z+d2z2+…,使
  p(z)≡1+w(z)1-w(z)
  将p(z)=1+c1z+c2z2+c3z3…和w(z)=d1z+d2z2+…代入上式,比 较两边幂级数同次幂的系数得
  c1=2d1,c2=2d2+2d21
  则
  |c2-vc21|=|2d2+2d21-4vd21|≤2[|d2|+|1-2v||d 21|]
  根据引理1得
  |c2-vc21|≤2[1+(|1-2v|-1)|d1|2]
  当1-2v≥1,即v≤0时,|c2-vc21|≤2[1+(1-2v-1)]=2-4v,其等号成立当 且仅当|d1|=1,d2=0;当-1≤1-2v≤1,即0≤v≤1时,|c2-vc21|≤2,其 等号成立当且仅当|d1|=0,|d2|=1;当1-2v≤-1,即v≥1时,|c2-vc21 |≤2[1+(-1+2v-1)]=2-4v,其等号成立当且仅当|d1|=1,|d2|=0,证毕。
  引理2中估计是精确的,v≤0和v≥1时,其极值函数为
  p(z)=1+eiθz1-eiθz0≤θ<2π
  0≤v≤1时,其极值函数为p(z)=1+eiθz21-eiθz2
  0≤θ<2π
  1 γ-星函数类上的Fekete-Szego¨ 问题
  定理1 设f(z)∈A,由式(1)给出,f(z)∈H(γ),则
   |a3-ua22|≤9γ+3-u(8γ+4)(2γ+1)(1+γ)2u≤ σ1
  12γ+1 σ1≤u≤σ2
  -9γ-3+u(8γ+4)(2γ+1)(1+γ)2 u≥σ2
   其中
  σ1=2+7γ-γ28γ+4σ2=4+11γ+γ28γ+4
  证 明 由f(z)∈H(γ),可设
  p(z)=(zf′(z)f(z))1-γ(1+zf″(z)f′(z))γ=
  1+c1z+c2z2+c2z3+L(5)
  将f(z)=z+∑∞n=2anzn代入式(5),比较两边幂级数同次幂的系数得
  (1+γ)a2=c1
  (4γ+2)a3=c2+2+7γ-γ22(1+γ)2c21

则
  |a3-ua22|=14γ+2|c2+
  2+7γ-γ2-(8γ+4)u2(1+ γ)2c21|=14γ+2|c2-vc21|
  其中v=(8γ+4)u-2-7γ+γ22(1+γ)2。
  由式(2)得,f(z)∈H(γ) 等价于p(z)=(zf′(z)f(z)) 1-γ(1 +zf″(z)f′(z))γp1+z1-z, 根据引理2,即得定理1结果,证毕。  

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